ANEXA 1.  DOUĂ  EXEMPLE

EXEMPLUL 1.

            Se aruncă o monedă de 5 lei din aceeaşi poziţie de pe masă. Apariţia stemei a fost notată cu „1”, iar cea a banului cu „0”. Experimentul s-a repetat de 1000 de ori. Frecvenţele absolute ale apariţiei stemei în serii de câte 40 de probe, notate , , au fost următoarele: 14, 18, 24, 21, 20, 21, 23, 17, 21, 20, 14, 28, 18, 21, 25, 20, 19, 18, 23, 21, 18, 22, 15, 23, 23.

            Frecvenţele mobile, cumulate în serii de 200 de probe (notate ) au fost:

97, 104, 109, 102, 102, 102, 95, 100, 101, 106, 112, 103, 102, 105, 101, 99, 102, 99, 99, 101, 101.

            Frecvenţa totală: 507. Se coroborează ipoteza că  (nu se poate respinge cu datele de care dispunem !). Frecvenţele relative în serii de 200 sunt extrem de stabile: au oscilat numai între 0.475 şi 0.560 (sub 10%).

            Să încercăm să testăm ipoteza independenţei aruncărilor. Dacă ar fi independente, frecvenţele  ar trebui să fie cam egale . La fel şi frecvenţele , i, j, k , ar trebui să fie aproximativ egale. Între ele este relaţia evidentă . Rezultatele au fost cele din tabelul de mai jos ( este la intersecţia liniei ij cu coloana k):

            Cum frecvenţele  teoretice sunt  şi  teoretice sunt , valoarea testului  este:

, în cazul frecvenţei  (3 grade de libertate)

respectiv,

             (7 grade de libertate), în cazul frecvenţelor .

            Ca să respingem ipoteza independenţei cu certitudine 95% că nu o să respingem o ipoteză adevărată, ne-ar trebui ca  să fie mai mare decât  care, pentru 3 grade de libertate, este 7.815 iar pentru 7, este 14.067 (vezi de exemplu [66]). Deci nu putem respinge ipoteza independenţei. Putem să o acceptăm. Nu ştiu. E o chestiune de bun simţ că aruncările nu se influenţează una pe alta; tendinţa de realizare rămâne aceeaşi atât a stemei, cât şi a banului, indiferent de aruncarea precedentă. Aceasta nu este, bineînţeles, o demonstraţie. Noi am decis că este foarte potrivit să acceptăm ipoteza .

            În figura de mai jos este prezentată evoluţia frecvenţei relative cumulate.

            Apliând calculele de la pag. 127 (97 ???) se găseşte că intervalul  este un interval de încredere la nivel de semnificaţie 95% pentru adevăratul p.

            Să arătăm acum şi punctul de vedere Bayesian, susţinut de Savage ([53]). Să presupunem că

nici un subiect nu are nici o idee ce valoare să atribuie probabilităţii apariţiei stemei. Tot ce ştie este că banul nu poate cădea pe o muchie. El are o densitate apriori a convingerii sale asupra lui , notată . Funcţia  se presupune continuă şi . Să admitem (ceea ce este foarte nenatural, dar nu are importanţă) că ; adică pentru subiectul nostru toate valorile p sunt la fel de incerte.

            După efectuarea experimentului descris mai sus, din motive de coerenţă (teorema Bayes), densitatea aposteriori a gradului său de încredere asupra lui p este

,

unde A este evenimentul care consta în apariţia a 507 de steme şi K, C sunt constante alese astfel

încât . Un calcul elementar arată că . Să notăm

Deoarece cele două figuri sunt foarte distorsionate (din motive tehnice evidente), vom arăta comportarea celor două funcţii în tabelul următor, pentru a vedea ce numere apar:

            EXEMPLUL 2.

Zarul cu care s-a făcut eprimentul din Anexa următoare a fost aruncat de 360 de ori, în trei serii de câte 120 din următoarea poziţie fixată: faţa „6” în sus, faţa „5” înspre experimentator, înălţimea de la care i s-a dat drumul să cadă liber a fost de 5 cm.

            Rezultatele sunt prezentate în tabelul de mai jos

            Cum  rezultă că suntem 95% siguri că adevăratele probabilităţi ale apariţiei feţelor 2, 3, 5 nu sunt  - altfel  trebuia să fie în intervalele de încredere respective. Cel mai mult a ieşit în evidenţă 2, care a apărut în aproape 30% din cazuri.

            Exemplul a fost dat în ideea de a se remarca faptul că nu are sens să spunem „Probabilitatea apariţiei feţei „2” la zar” decât atunci când avem în minte un context experimental suficient de precizat.