ANEXA 2.  Studiul  unui  exemplu  de aşteptare

            Am aruncat un zar de câteva mii de ori urmărind să observ de câte aruncări este nevoie pentru a obţine un „6”. Variabila aleatoare studiată a fost timpul de aşteptare până la apariţia unui „6”. Calcule elementare arată că dacă  sunt independente şi având aceeaşi probabilitate p, , unde  şi T este timpul de aşteptare până la realizarea unuia din evenimentele . În cazul zarului perfect ar trebui, deci, ca .

            Experimentele au fost împărţite în serii de câte 200 de experienţe. Rezultatele sunt prezentate în tabelele de mai jos.

            Tabelul 1. Frecvenţe brute în serii de 200 de probe

şi peste

Tabelul 2. Frecvenţe cumulate; primul rând arată la câte probe sunt calculate frecvenţele.

şi peste

            Notând  frecvenţele relative cumulate (la n probe) ca timpul de aşteptare să fie exact i, atunci este clar că  este un estimator pentru p = probabilitatea apariţiei unui 6. Iată evoluţia acestei frecvenţe relative pentru n dat în tabelul 2 (adică n = 200, 400,…,3200):

.275, .252, .232, .235, .222, .230, .219, .214, .211, .205, .2056.

            Am preferat  şi nu .205 deoarece frecvenţele au fost toate deasupra lui .205; trebuie aleasă ca probabilitate o frecvenţă în jurul căreia oscilează celelalte.

            Calculând testul  a rezultat un  calculat de 14.7 care nu este suficient pentru a infirma ipoteza că  (la 19 grade de libertate câte avem, ar trebui un  

mai mare decât 30.1 pentru a respinge ipoteza cu probabilitate de eroare mai mică decât 5%.

            Dacă am fi ales , abaterea de la curba teoretică ar fi fost şi mai mică ( =12.83) dar am preferat  din motive empirice: o valoare „mai de mijloc” a frecven’ei relative este, probabil, mai apropiată de adevărata probabilitate (!).

            În figura de pe pagina [134???] este arătată evoluţia frecvenţelor relative cumulate după 400, 800, 1600 şi 3200 de experimente. Am putea decide de aici că modelul teoretic „evenimente independente cu ” se potriveşte aproape perfect. Lucrurile nu stau chiar aşa de simplu.

            Am încercat să varific ipoteza independenţei (de fapt, aici ar fi mai adecvată noţiunea lui Popper de „falsificare”). Din cele 16365 de aruncări cu zarul efectuate (pentru a obţine 3200 de experimente) am reţinut ultima serie de 3065 (din motive „tehnice”: numărătorile au fost făcute manual; altfel aş fi putut studia întreaga serie) pe care am studiat-o mai amănunţit. Am calculat frecvenţele

, ,

pe care le-am trecut în tabelul 3.

TABELUL 3. Frecvenţele  şi

Să notăm  şi  (rotunjit la parte întreagă). Atunci, dacă probele ar fi independente, ar trebui ca  aproximativ; dacă în loc de frecvenţe am fi lucrat cu probabilităţi, ar fi trebuit ca  ???. În colţul din dreapta jos al celulelor (i, j) am notat valoarea lui , iar în colţul din stânga jos, abaterea de la aceste valori „semiteoretice”, .

            Deşi la o simplă inspectare a acestor valori s-ar părea că abaterile nu sunt prea mari, şi că nu avem motive serioase să respingem ipoteza independenţei, valoarea indicatorului

            Valoarea tabelată a aceluiaşi indicator pentru respingerea ipotezei la nivel de semnificaţie 5% şi 30 grade de libertate ( : avem 36 de căsuţe şi 5 legături independente între ele de tipul ) este ceva mai mare 43.773, dar la nivel 10% .

            Înseamnă că ipoteza independenţei trebuie respinsă (cu risc între 5% şi 10% de a comite o eroare). Există o „explicaţie” intuitivă a faptului că aruncările nu au fost independente: la ultimele probe, nu mai amestecam zarul în mână, ci îl luam de pe masă şi îl lăsam să se rostogolească din palmă în cădere liberă de la o înălţime de 10 – 15 centimetri. De aceea probabil că a apărut o dependenţă markoviană între aruncări.

            Se ştie că numerele  reprezintă o estimare a probabilităţilor de trecere ale lanţului. În cazul de faţă

            Se observă că dependenţa markoviană este destul de slabă: doar cinci dintre numerele  se abat de la  cu mai mult de .05 ( , , şi ). Este de aşteptat, deci, ca rezltatul comportării acestui lanţ Markov să nu difere prea mult de cazul în care variabilele  ar fi independente şi identic repartizate. Acest lucru ar explica de ce modelul iniţial s-a potrivit aşa de bine.

            În matricea din Tabelul 3, să considerăm că nu ne interesează decât dacă rezultatul aruncării a fost „6” sau „non-6”. Pe „6” să îl renotăm cu „1” (succes) şi pe „non-6” cu „0” (eşec). Atunci tabelul frecvenţelor devine:

Tabelul 4. Acelaşi ca Tabelul 3, dar rezultatele 1, 2, 3, 4, 5, 6 se cumulează sub eticheta „0” iar „6” este renotat „1”.

            Convenţiile sunt aceleaşi ca în Tabelul 3: în stânga jos sunt abaterile de la valorile  care apar în colţul din dreapta jos.

            Acum , adică insuficient pentru a respinge ipoteza că probele sunt independente. Ori, în cazul experimentului de aşteptare efectuat nu interesează decât „6” şi „non-6”, adică 0 şi 1. De aceea ipoteza independenţei a fost, totuşi, adecvată.

            Un interval de încredere de nivel 95% pentru adevărata probabilitate a apariţiei feţei 6 este . Atât valorile .21 şi .205 gasite prin metoda cealaltă, de la pag. 133 ( ) sunt acceptabile.

            Să luăm acum în consideraţie modelul markovian. Lucrurile nu se complică prea mult. Considerăm că noile variabile aleatoare  şi  în rest, formează un lanţ Markov omogen şi staţionar (adică  nu depinde de n). Matricea de trecere  o estimăm din Tabelul 4. Atunci . Trebuie să calculăm . Din ipoteza de staţionaritate,  sau ,de unde se scoate imediat  sau, în cazul nostru .

            Introducem acum variabila aleatoare T = timpul de aşteptare până la apariţia succesului, . Un calcul elementar (condiţionări repetate) arată că  dacă  şi . La 3200 de probe, frecvenţele apropiate vor fi:

Care, în mod paradoxal, sunt mai proaste decât cele obţinute prin modelul naiv i.i.d !