ANEXA 4.  Axiomatizări  ale  calculului  probabilităţilor

1. Von Mises, 1919 (din [38’])

Definiţia 1. Fie S o mulţime oarecare. Se numeşte selecţie de loc, notată  orice şir de funcţii .

Definiţia 2. Fie  un şir cu valori în S, şi  o selecţie de loc. Notăm  subşirul extras din x după următorul porcedeu: , , unde ,

Definiţia 3. Fie S o mulţime oarecare,  o familie de părţi ale lui S închisă la complementare şi reuniune numărabilă ( - algebră) şi G o familie numărabilă de selecţii de loc. Şirul  de elemente din S se numeşte  - colectiv dacă

(i)                  pentru orice mulţime , există , unde

(ii)                pentru orice selecţie f din G, .

Definiţia 4.  se numeşte probabilitatea evenimentului A.

Definiţia 5. Fie  şi  două mulţimi oarecare, şi  două  - algebre pe ele şi G o familie numărabilă de selecţii de loc. Fie  ( )  - colective.  se numesc colective independente dacă  este un  colectiv şi  pentru orice , .

2. Ramsey, 1926 ([   ])

            Fie x un subiect epistemic. Se consideră noţiuni primare şi nu se definesc, utilitatea (goods) şi indiferenţa.

            Definiţia 1. Propoziţia p se numeşte etic neutră dacă ea nu este obiect de dorinţă sau respingere din partea lui x.

            Definiţia 2. Fie A, B două utilităţi şi p o propoziţie etic neutră. Sistemul  se numeşte alternativă dacă: x primeşte A dacă p este adevărat şi B dacă p este fals.

            Definiţia 3. x are încredere  în p (notaţie: ) dacă pentru orice două utilităţi A şi B alternativele  sau  îi sunt indiferente.

            Axioma 1. Există o aplicaţie  care atribuie fiecărei utilităţi un număr real numit valoarea ei. Aplicaţia de valorizare are proprietatea că dacă p este etic neutră şi ,    pentru x alternativele  sau  îi sunt indiferente.

            Axioma 2. Există propoziţii etic neutre p ca .

            Definiţia 4. Dacă x nu preferă între A (sigur) şi  definim ; definiţia nu este contradictorie şi .

            Definiţia 5. Dacă lui x îi este indiferent între  sau  definim .

            Teoremă. ; ; ; .

3. Reichenbach, 1932 ([49])

            Fie  o algebră Boole şi  ( 0 = elementul zero al algebrei Boole). Aplicaţia  se numeşte probabilitate dacă

            (i) ,  pentru orice  şi ;

            (ii) , dacă ;

            (iii)  pentru orice elemente pentru care

            Interpretarea geometrică:  este o algebră de părţi a lui E,  este o măsură aditivă şi , dacă .

            Interpretarea frecvenţială. Fie  şi  două şiruri. Fie . Dacă  există, notăm această limită cu . Ea satisface axiomele (i), (ii), (iii).

4. Kolmogorov, 1933 ([19’])

Definiţia 1. Tripletul  se numeşte spaţiu probabilizat dacă

(i)                  E este o mulţime oarecare.

(ii)                 este o  - algebră de părţi ale lui E.

(iii)       o funcţie de mulţime cu proprietatea că  şi pentru orice şir  de mulţimi disjuncte din ,

Definiţia 2. Perechea  unde X este o mulţime oarecare şi  o  - algebră pe X se numeşte spaţiu măsurabil.

Definiţia 3. Fie  şi  două spaţii măsurabile.  se numeşte variabilă aleatoare dacă .

Definiţia 4. Fie ,  două sub- -algebre ale lui .  şi  se numesc independente dacă  pentru orice  şi .

Definiţia 5. Fie  două variabile aleatoare reale ( ) este algebra mulţimilor de pe R care este generată de intervalele deschise – aşa numita -algebră boreliană de pe R). f şi g se numesc independente dacă -algebrele  şi  sunt independente.

Definiţia 6. Fie  o variabilă aleatoare reală. Probabilitatea  se numeşte repartiţia lui X. Ea se identifică cu funcţia sa de repartiţie . Dacă , se zice că X este o v.a. absolut continuă şi f se numeşte densitatea sa de repartiţie.

5. Popper, 1938, 1955 ([47], pag. 312)

            Fie S o latice complementată cel mult numărabilă şi  cu proprietăţile

A1. Există  astfel încât .

A2. Dacă  atunci există  astfel încât .

A3.  pentru orice .

B1.  pentru orice .

B2.  pentru orice .

C1.  cu excepţia cazului în care  pentru orice             .

            Definiţia probabilităţii absolute. Dacă  are proprietatea că  pentru orice , definim .

6. De Finetti, 1937

            Fie  o algebră Boole de evenimente. Evenimentul imposibil se notează cu  şi cel sigur cu 1; fie, de asemenea, x un subiect epistemic.

            Ax 1. Există pe  o relaţie de preordine totală notată „ ” care satisface relaţia ,      pentru orice ,  cu proprietatea că . Relaţia  se citeşte „ nu este mai probabil ca ”

            Ax 2. Există o a doua relaţie de preordine totală notată „ ” între toate perechile , unde S este o sumă de bani şi E un eveniment, care se citeşte  „Suma S dacă apare E este preferabilă sumei S’ dacă apare E’  ”. Dacă  şi , spunem că între cele două perechi se manifest indiferenţă.

            Axioma 3 – Definiţia 1. Pentru orice  există un număr  care nu depinde decât de E, nu şi de S astfel încât x manifestă indiferenţă între  şi ; p se notează  şi se numeşte probabilitatea ataşată de x lui E.

            Ax 4. Principiul pariului echitabil (al coerenţei). Fie  evenimente oarecare. Probabilităţile oricărui eveniment care rezultă dintr-o combinare a lor trebuie date astfel încât să nu se permită unui eventual opozant să câştige un pariu asupra lor în toate cazurile posibile.

            Definiţia 5. Fie E şi E’ două evenimente. Dacă x manifestă indiferenţă între  şi  şi p nu depinde decât de E şi E’, definim  şi o numim „probabilitatea lui E’ condiţionată de E ”.

            Teoremă.  pentru orice evenimente incompatibile E şi E’. În plus,  întotdeauna.

            Definiţia 6. Şirul de evenimente  se interşanjabil dacă pentru orice  şi orice sistem de numere naturale distincte

.

Apoi se arată că toate teoremele importante care se demonstrează ??? pentru evenimentele independente se pot demonstra şi în ipoteza interşanjabilităţii.

7. Probabilitatea dialectică (Bodiou, 1964     /     /, )

            Fie T o latice (adică pe T există o relaţie de ordine faţă de care orice pereche   S ??? admite ) şi ) relativ autocomplementată (există un automorfism  ca  şi  pentru orice ; în plus, pentru orice a   b există  ca ), în care  pentru orice . T se numeşte latice dialectică.

            Def. 1. Fie T o latice dialectică. Elementele a şi b se numesc ortogonale dacă .

            Def. 2. Fie T o latice dialectică. Aplicaţia  se numeşte probabilitate dialectică dacă . Dacă pentru orice şir  de elemente din T reciproc ortogonale avem  se spune că P este o probabilitate complet dialectică. În plus, o probabilitate mai satisface condiţia  pentru orice .

            Def. 3. Sublaticea  se numeşte laticea de adecvare a lui P.

            Def. 4.  se numeşte atom dacă  sau .

            Axiomă. Orice atom z determină o probabilitate condiţionată

            Def. 5. Dacă  se notează  şi se numeşte implicatorul lui b din a.

            Def. 6. Condiţionare dialectică. Fie  o probabilitate atomică dată de z şi . Orice probabilitate  se numeşte „probabilitate condiţionată de a” dacă  aparţine laticii sale de adecvare. Atunci ea este de asemenea atomică, determinată de atomul . În plus atomul  este unic determinat de relaţia .

            Teoremă. Dacă T este algebră Boole, definiţia probabilităţii coincide cu cea clasică. Necesar şi suficient ca  să fie algebră Boole este ca pentru orice atom  şi orice  să fie valabilă teorema de înmulţire a probabilităţilor: .

            Def. 7. Aplicaţia  s.n. variabilă aleatoare reală dacă:

            (i)  şi ,  (1=elementul maximal);

            (ii) pentru orice atom  ,     .

8. Probabilitatea cuantică (Bodiou, 1964)

            Fie X un spaţiu Hilbert şi . Fie  oarecare ca . Cuplul  se numeşte spaţiu probabilistic cuantic generat de atomul x. Dacă , definim , unde  este operatorul de proiecţie ortogonală pe H.

            Teoremă. Dacă  sunt ortogonale, atunci . În plus, .

            Definiţie 2. Fie . Definim .

            Observaţie. In . Definim , spre deosebire de teoria clasică. De aceea, aceste probabilităţi se numesc necomutative.

            Definiţie. Dacă se verifică teorema înmulţirii  se spune că H şi H’ sunt compatibile. Acest lucru se întâmplă dacă şi numai dacă proiectorii  şi  comută .

9. Probabilităţi pe algebre şi – algebre Boole (O. Onicescu, I. Cuculescu, în /   /)

            Definiţie. Fie E o algebră Boole (respectiv - algebră Boole). Aplicaţia  este probabilitate (respectiv -probabilitate) dacă  dacă  (respectiv  ) dacă  pentru  şi, în plus, .

            Definiţie. Familia de sub-algebre Boole  se numeşte independentă dacă pentru orice n şi orice  şi  avem . Perechea  se numeşte câmp.

            Analogul variabilelor aleatoare sunt funcţiile sumă.

            Definiţie. Fie  un câmp. Funcţia  se numeşte funcţie sumă dacă este aditivă (respectiv, în cazul - algebrelor Boole) –aditivă şi absolut continuă faţă de P ( ).

            Matematicienii  români au realizat multe din teoriile axiomatizării clasice (Kolmogorov) pe –algebre Boole (teorie ergodică, entropie, informaţie - Onicescu); spaţii  (Marinescu); martingale şi procese Markov (Onicescu); analiză funcţională pe latici Boole (Cristescu, Sâmboan) etc.

            O altă direcţie de lucru pe algebre Boole este dată de şcoala de la Taşkent (Sarîmsakov, Ajupov, Kucikarov); ideea lor este să se axiomatizeze direct spaţiul variabilelor aleatoare, în care mulţimile se identifică cu idempotenţii unui semicâmp topologic (Vezi  /   /).

10. Sisteme axiomatice calitative (Koopman, 1940; Suppes, 1971).

            Deoarece sunt foarte asemănătoare, ne vom mulţumi cu prezentarea axiomatizării Suppes pentru Propensităţi (/   /, pg. 519)

            Definiţia 1. Tripletul  se numeşte structura calitativă de probabilitate condiţionată, dacă:

I.                    X este o mulţime oarecare, iar F este o –algebră de părţi ale lui X.

Elementele A, B, ... din F se interpretează ca evenimente sau rezultate ale unui context experimental.

II.                 “   “ este o relaţie pe mulţimea ; notaţia

 se interpretează ca „ tendinţa lui A de a se produce dacă s+a produs B este cel puţin la fel de mare ca cea a lui C dacă s-a produs D”. Din ea se deduc alte două relaţii: cea strictă  dar  şi echivalenţa

.

Între ele postulează următoarele relaţii:

            1.  şi    

            2.  sau ;

            3. ;

            4.

            5.

            6. Dacă  şi  sunt disjuncte şi   , atunci . În plus, dacă există i ca , atunci ;

            7. Dacă , , , , atunci . În plus,  cu excepţia cazurilor  sau , ;

            8. Dacă , ,  şi , atunci . În plus, dacă în premise apare pe undeva „    ”, la fel se întâmplă şi la concluzie.

            Definiţia 2. Structura calitativă  se numeşte arhimediană dacă orice şir  cu proprietatea că ,  şi , este finit.

            Se demonstrează apoi că în anumite condiţii suplimentare, există o probabilitate pe F, obişnuită, ca     .

11. Drieschner, 1979 (/    /).

            Fie un context experimental X şi o teorie fizică T. Fie  alternativa prevăzută de teorie. Atunci = frecvenţa relativă prevăzută a apariţiei rezultatului  se numeşte probabilitatea lui . Fiecare alternativă generează o algebră Boole. Două alternative pot să nu fie compatibile între ele, cum este cazul în mecanica cuantică, şi atunci nu are sens să vorbim despre . În cazul în care are sens să se discute despre  se subânţelege că alternativele A şi B sunt compatibile cuantic, deci aparţin unei aceleiaşi algebre Boole mai mare; în acest din urmă caz funcţionează legile calculului clasic al probabilităţii simplu aditive, înlocuind sistematic, cuvântul probabilitate cu „frecvenţă relativă prevăzută”.

            Studierea interrelaţiilor între aceste 11 sisteme formale depăşeşte scopul lucrării de faţă.